Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор (Петров) - страница 124

Вспомним, что потенциал точечной массы в теории Ньютона

Если вместо точки взять сферическое тело (однородный шар) той же массы M с центром, где раньше была точка, то значение потенциала вне тела не изменится.

При несферичности рассматриваемого тела выражение для потенциала изменится, и изменения будут связаны непосредственно с отклонениями от сферичности. Величину отклонения можно представить так. Если сферическую составляющую принять за исходную симметрию, то первая степень отклонения (грубая) – дипольная, следующая (более «тонкая») – квадрупольная, и т. д. Тогда значение потенциала в выбранной точке можно представить в виде:

Здесь d – дипольный момент, а D – квадрупольный. Формула является символической: в ней не учтены коэффициенты, а также векторный и тензорный характер некоторых величин. Но она показывает, что при удалении от источника каждый из последующих членов ряда дает все меньший вклад в формирование потенциала.

В электродинамике излучение определяется изменением дипольнного момента (рис. 10.1) В гравитации дипольный момент, который является вектором, определяется следующим образом: из начала координат к каждому элементу массы ΔM проводится радиус-вектор R, после чего величины ΔM·R векторно суммируются по всем элементам массы. Ясно, что выбрав начало координат в центре масс, мы получим дипольный момент тождественно равный нулю. Это можно сделать всегда, поскольку в гравитации, в отличие от электромагнетизма, нет противоположных зарядов (нет отрицательных масс). Следовательно, не может быть и гравитационного излучения, связанного с дипольным моментом.

Гравитационное излучение возникает при изменении квадрупольного момента – D. Вспомним о моменте инерции, который является мерой инертности тела во вращательном движении, точно так же, как инертная масса – мерой инерции в поступательном движении. Квадрупольный момент – это момент инерции из которого исключена шаровая составляющая, определяющая основной (симметричный) вклад в потенциал.

Если в электродинамике мощность электромагнитного излучения пропорциональна квадрату второй производной по времени от дипольного момента, то в ОТО гравитационное излучение возникает из-за переменной асимметрии, определяемой квадрупольным моментом D, и мощность излучения пропорциональна квадрату третьей производной по времени от D. Значит, как бы тело не было деформировано, оно не излучает, если покоится.

Проиллюстрируем на простых примерах, какие системы излучают гравитационные волны, а какие – нет.

Рассмотрим сначала однородный шар, который пульсирует без изменения сферичности. Излучает ли гравитационные волны такой объект? Ответ – нет. Действительно, если сферичность не нарушена, то из наших рассуждений о потенциале следует, что на любой стадии пульсации квадрупольный момент просто не возникает. Приведем другой пример. Пусть любое аксиально симметричное однородное тело типа дыни вращается, а ось вращения совпадает с осью симметрии. Хотя «дыня» и имеет квадрупольный момент, но при таком вращении он не будет меняться. Значит, снова не будет излучения.