Красота в квадрате (Беллос) - страница 96

Кривая y = e^>x: высота точки на кривой всегда равна градиенту в этой точке

Однако геометрическая красота этой кривой вступает в противоречие с ее уродливым порождением — хаотичной совокупностью цифр десятичного числа, начинающейся с 2,718 и продолжающейся до бесконечности без повторений. Для удобства обозначим это число буквой e и назовем его экспоненциальной константой. Это вторая самая известная математическая константа после π. Однако, в отличие от числа π, которое изучают уже на протяжении тысячи лет, число e появилось сравнительно недавно.

Говорят, что, когда Альберта Эйнштейна спросили, что он считает величайшим открытием всех времен, он с иронией ответил: «Сложный процент». Возможно, на самом деле этого диалога никогда не было, но он вошел в городскую мифологию, поскольку именно такой шутливый ответ мы хотели бы услышать. Процент — это денежный сбор, который вы платите, когда берете деньги в долг, или получаете, когда даете их взаймы. Как правило, размер данного сбора составляет определенный процент от суммы, взятой или предоставленной в долг. Простой процент — это конкретная сумма денег, которая выплачивается на первоначальную сумму и остается неизменной при каждом очередном периоде выплаты процентов. Так, если банк назначает простой процент в размере 20 процентов годовых по кредиту в объе­ме 100 фунтов стерлингов, то через год долг составит 120 фунтов, через два года — 140 фунтов, через три года — 160 фунтов и т. д. Однако в случае сложного процента сумма процентных платежей рассчитывается за каждый очередной период с учетом начисленных процентов, другими словами — на накопленную сумму долга. То есть если банк назначает сложный процент в размере 20 процентов годовых, кредит в объеме 100 фунтов превратится через год в 120 фунтов, через два года это будет уже 144 фунта, через три — 172,8 фунта и т. д. Эти суммы рассчитаны следующим образом.

Первый год:

долг + проценты = £100 + (£100 × ) = £120

Второй год:

накопленный долг + проценты = £120 + (£120 × ) = £144

Третий год:

накопленный долг + проценты = £144 + (£144 × ) = £172,8

И так далее.

Сложный процент растет гораздо быстрее, чем простой, поскольку он увеличивается по экспоненте. Прибавление Х процентов к основной сумме долга равносильно умножению на

Первый год:

£100 + (1 + )

Второй год:

£100 (1 + ) × (1 + ) = £100 (1+ )^>2

Третий год:

£100 (1 + )^>2 × (1 + ) = £100 (1 +

Это и есть последовательность, подчиняющаяся экспоненциальному закону.

Кредиторы издавна отдают предпочтение сложному проценту перед простым. Действительно, в одной из самых первых задач в математической литературе, записанной на месопотамской глиняной табличке, датируемой 1700 годом до н. э., спрашивается, сколько времени уйдет на удвоение суммы, если проценты накапливаются при ставке 20 процентов годовых. Одна из причин привлекательности банковского дела состоит в том, что сложный процент увеличивает долг или ссуду в геометрической прогрессии, а это значит, что вскоре вы должны будете либо выплатить, либо, наоборот, заработать баснословную сумму. Римляне осуждали начисление сложного процента как худшую форму ростовщичества. В Коране это считается грехом. Тем не менее глобальная финансовая система полагается в своей деятельности на эту практику. Именно так рассчитываются остатки на наших банковских счетах, проценты по кредитным картам и платежи по ипотечным кредитам. Сложный процент был главным катализатором экономического роста с самого начала развития нашей цивилизации.