Красота в квадрате (Беллос) - страница 97

В конце XVII столетия швейцарский математик Якоб Бернулли задал достаточно простой вопрос по поводу сложного процента. Какова зависимость между интервалом его начисления и стоимостью кредита? (Якоб был старшим братом Иоганна, с которым мы познакомились в предыдущей главе, когда он призвал самых блестящих математиков мира найти путь наискорейшего спуска.) Что лучше: начислять полную годовую процентную ставку один раз в год, или половину годовой процентной ставки каждые полгода, или двенадцатую часть ставки один раз в месяц, или даже часть ставки каждый день? Интуиция подсказывает, что чем чаще мы начисляем проценты, тем больше процентной прибыли заработаем, что действительно так, поскольку в данном случае деньги работают на нас дольше. Однако я хочу объяснить вам эти расчеты шаг за шагом, поскольку они раскрывают одну интересную математическую закономерность.

Для того чтобы максимально упростить расчеты, давайте исходить из предположения, что сумма депозита составляет 1 фунт стерлингов и что банк выплачивает на него проценты по ставке 100 процентов годовых. Через год стоимость депозита удвоится и будет равна 2 фунтам.

Если же мы сократим вдвое процентную ставку и интервал начисления процентов, то получим ставку 50 процентов, которая начисляется за год дважды.

Следовательно, через шесть месяцев наш депозит вырастет до такой суммы:

£1 (1 + ) = £1,50

Через год сумма депозита составит:

£1 (1+ ) × (1+ ) = £1 (1 +

Следовательно, начисляя проценты каждые полгода, мы заработаем на 25 пенсов больше.

Аналогично, если процентная ставка составляет 12-ю часть от 100 процентов и есть двенадцать ежемесячных платежей, депозит вырастет до следующей суммы:

£1 (1 +

То есть при ежемесячном начислении процентов мы дополнительно получим 61 пенс.

А если процентная ставка составляет 365-ю часть от 100 процентов при наличии 365 ежедневных платежей, то сумма депозита будет:

£1 (1 +

В этом случае мы зарабатываем дополнительно 71 пенс.

Закономерность очевидна. Чем больше интервалов начисления процентов, тем больше дохода приносят вложенные деньги. Но насколько далеко мы можем продвигать этот процесс? Якоб Бернулли хотел знать, есть ли какой-либо предел увеличения суммы, если интервалы начисления процентов будут становиться все меньше и меньше.

Как мы уже видели, если разделить годовую процентную ставку на n и начислять ее n раз, баланс на конец года в фунтах составит:

(1 +

Если сформулировать вопрос Бернулли в алгебраической форме, то он прозвучит так: что произойдет со значением этого выражения, если