Цель моей теории — установить раз и навсегда определенность математических методов.
Давид Гильберт, «О бесконечности»· (1925)
Арифметика — это область математики, в которой говорится о свойствах сложения и умножения натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...; она включает в себя такие понятия, как простые, совершенные, треугольные или четные числа. Теория образована всеми утверждениями (также называемыми предложениями, или высказываниями), связанными с этими понятиями, например «1 + 1 = 2», «2 — четное число», «5 — простое число», «любое число, делящееся на 4, четное» или «сумма двух нечетных чисел дает в результате четное число». Аксиомы, которые искал Гильберт, были бы множеством базовых истин, из которых можно вывести, при уже изложенных условиях, все остальные истинные арифметические утверждения, в том числе упомянутые выше.
С другой стороны, что означает алгоритмическая проверка справедливости рассуждений, доказывающих эти истины? Это означает, что по крайней мере в начале должно быть возможным так запрограммировать компьютер, чтобы за конечное количество шагов он мог определить, является ли доказательство справедливым. В соответствии с этой идеей мы вводим доказательство в машину, она обрабатывает его по предварительно написанной программе и через некоторое время (возможно, долгое, но в любом случае конечное) говорит нам, справедливо рассуждение или в нем содержится ошибка.
В целом проверка правильности математического доказательства — непростая работа, иногда даже для специалистов. Например, когда в 1995 году Эндрю Уайлс представил свое доказательство последней теоремы Ферма, которому он посвятил семь лет, специалисты, его проверявшие, нашли логический пробел — шаг, который, насколько они понимали, не был должным образом обоснован. Уайлс, естественно, этой ошибки не заметил, и ему потребовался год на ее исправление. В конце концов в 1996 году он представил полное доказательство.
Продемонстрируем менее сложный пример. Пусть а и b — два числа, которые мы считаем равными и при этом отличными от нуля. На основе того факта, что а = b, мы можем получить «доказательство» того, что 1 = 2 (для большей ясности пронумеруем логические шаги рассуждения).
| 1. | а = b | По гипотезе. |
| 2. | a · b = b · b | Умножили оба члена на Ь. |
| 3. | a · b = b² | Заменили b · b на b². |
| 4. | a · b - a² = b² - a² | Вычли а² из обоих частей. |
| 5. | a · (b - a) = (b + a) · (b - a) | Использовали известные алгебраические равенства. |
| 6. | a = b + a | Сократили (b - а) в обеих частях. |
| 7. | a = a + a | Заменили b на а> поскольку числа равны. |
| 8 | a = 2 · a |