, согласно которому любое утверждение либо истинно, либо ложно. По Брауэру, напротив, допускались утверждения, которые пребывают в каком-то третьем, лимбическом состоянии, в котором они «остаются нерешенными». Из-за подобных ограничений интуиционистская школа мысли оказалась несколько маргинальной. Тем не менее интуиционистские идеи предвосхищали некоторые открытия в когнитивной психологии, касавшиеся вопроса о том, как люди приобретают математические знания (об этом мы поговорим в главе 9), а кроме того, повлияли на рассуждения некоторых современных философов математики, в частности Майкла Даммита. Даммит придерживался в основном лингвистического подхода и настаивал, что «значение математического утверждения определяет его
применение и в то же время полностью определяется этим применением».
[120]Но как же возникло такое тесное партнерство между математикой и логикой? И жизнеспособна ли вообще программа логицизма? Позволю себе дать краткий обзор основных вех за последние четыре столетия.
Традиционно предметом логики были отношения между понятиями и суждениями и процессы, которые позволяли выделить из этих отношений обоснованные следствия.[121] Приведу простой пример: силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – иксы; следовательно, некоторые зеты – игреки» построены таким образом, что автоматически обеспечивают истинность заключения, если верны посылки. Например, «Любой биограф – писатель; некоторые политики – биографы; следовательно, некоторые политики – писатели» приводит к истинному заключению. С другой стороны, силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – игреки; следовательно, некоторые зеты – иксы» ложны, поскольку можно привести примеры, когда заключение, несмотря на истинность посылок, окажется ложным. Например, «Любой человек – млекопитающее, некоторые рогатые животные – млекопитающие; следовательно, некоторые рогатые животные – люди».
Если соблюдаются некоторые правила, истинность вывода не зависит от темы утверждений. Рассмотрим следующий силлогизм.
– Убийца миллиардера – либо дворецкий, либо его собственная дочь.
– Дочь не убивала миллиардера.
– Следовательно, убийца – дворецкий.
Он позволяет получить истинный вывод. Обоснованность этого вывода никак не зависит ни от нашего мнения о дворецком, ни от отношений миллионера с дочерью. Обоснованность обеспечена тем, что посылки общего вида «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» приводят к логически истинному утверждению.
Вероятно, вы заметили, что в первых двух примерах иксы, игреки и зеты играли роли, очень похожие на роли переменных в математических уравнениях: они отмечают места, куда можно вставлять выражения, точно так же, как вместо переменных в алгебре можно подставлять их численные значения. Подобным же образом истинность силлогизма «если или