чисел оставалось спорным вопросом. Гильберт прекрасно знал, что сделал Рассел с Фреге, и осознавал, какие опасности таят в себе поверхностные рассуждения о бесконечных множествах. «Внимательный читатель, – писал он в 1926 году, – обнаружит, что в книгах по математике полно глупости и абсурда, источником которых является бесконечность»
{280}. (Тон этого высказывания был бы вполне уместным в каком-нибудь из наиболее яростных мнений судьи Антонина Скалиа.) Гильберт искал
финитное доказательство непротиворечивости, то есть доказательство, в котором не было бы никаких ссылок на бесконечные множества и в которое рациональный ум не мог бы не поверить.
Однако Гильберта ждало разочарование. В 1931 году Курт Гёдель доказал свою знаменитую вторую теорему о неполноте, которая гласила, что не существует финитного доказательства непротиворечивости арифметики. Он погубил программу Гильберта одним ударом.
Так следует ли вам беспокоиться по поводу того, что завтра после обеда может наступить коллапс всей математики? Как бы там ни было, меня это не беспокоит. Я действительно верю в бесконечные множества и считаю доказательства непротиворечивости, в которых используются бесконечные множества, достаточно убедительными, чтобы спокойно спать по ночам.
Большинство математиков считают так же, как и я, но есть и те, кто придерживается другого мнения. В 2011 году логик из Принстонского университета Эдвард Нельсон представил доказательство непротиворечивости арифметики. (К счастью для нас, через несколько дней Терри Тао обнаружил в этом доказательстве ошибку{281}.) Владимир Воеводский, лауреат Филдсовской премии, который работает сейчас в Институте перспективных исследований в Принстоне, произвел в 2010 году сенсацию, заявив, что не видит никаких оснований для того, чтобы считать арифметику непротиворечивой. Вместе с большой группой коллег со всего мира Воеводский предложил новое обоснование математики. Гильберт начинал с геометрии, но быстро пришел к пониманию того, что непротиворечивость арифметики – это более фундаментальная проблема. Напротив, группа Воеводского утверждает, что по большому счету именно геометрия имеет фундаментальное значение – не такая геометрия, которая была бы привычной для Евклида, а современная геометрия, называемая «теория гомотопий». Смогут ли эти основы устоять перед скептицизмом и противоречиями? Спросите меня об этом через двадцать лет. Такие вещи требуют времени.
Модель математики Гильберта уцелела после кончины его формалистской программы. Еще до публикации работы Гёделя Гильберт ясно дал понять, что в его намерения не входит