Фрактальная геометрия природы (Мандельброт) - страница 56

Возьмем оригинальную кривую Пеано (см. рис. 95) и представим величину t как число в системе исчисления с основанием N=9 вида 0,τ_>1,τ_>2,... Значения времени с одинаковым первым «знаком» после запятой отобразятся на одну и ту же девятую часть исходного квадрата, значения с одинаковым вторым «знаком» отобразятся на одну и ту же восемьдесят первую (9^>2) часть исходного квадрата и т. д. Таким образом, покрытие отрезка [0, 1] отображается на покрытие квадрата. Последовательные девятые доли линейных плиток отображаются на последовательные подплитки плоскости. А свойство отрезка, именуемое пертайлинг, т. е. рекурсивная и бесконечная разбиваемость на меньшие плитки, подобные целому отрезку [0, 1], отображается на аналогичное свойство квадрата. Различные движения Пеано, коими мы обязаны Э.Чезаро и Д. Пойа, отображают это свойство также и на всевозможные самоподобные покрытия треугольников.

В более общем смысле большинство движений Пеано порождают самоподобные покрытия плоскости. В простейшем случае существует некое основание N, и мы начинаем с линейного пертайлинга, заключающегося в последовательном разбиении целого на N-е доли. Однако прохождение снежинки, изображенное на рис. 104 и 105, подразумевает неравномерное разбиение интервала времени t [0, 1] сначала на четыре подынтервала длиной 1/9, затем на четыре подынтервала длиной 1/9√3, один — 1/9, два — 1/9√3 и два — 1/9.

Движения Пеано нередко подразумевают весьма деликатные взаимоотношения между длиной и площадью, в которых эти понятия подчас меняются местами. Особенно характерно это для изометрического движения, т.е. такого, при котором временной интервал

Определение «расстояния Пеано» может включать в себя только порядок посещений. Обозначим моменты первых посещений точек P_>1 и P_>2 через t'_>1 и t'_>2, а моменты последних посещений — через t''_>1 и t''_>2. Тогда левый интервал Пеано