Существуют ли другие такие числа?
По поводу ответа Крейга на этот вопрос смотри решение задачи 4.
2. Числом, которое нашел Крейг, было 33233. Действительно, любое число вида 332X порождает двойной ассоциат X; так, число 33233 порождает двойной ассоциат числа 33 — то есть ассоциат ассоциата числа 33. Далее, ассоциат числа 33 есть исходное число 11233, и, следовательно, двойной ассоциат числа 33 есть ассоциат числа 33233. Итак, число 33233 порождают ассоциат числа 33233, или свой собственный ассоциат.
Как же было найдено это число, и является ли полученное решение единственным? Крейг дает ответы на эти вопросы при решении следующей задачи.
3. Здесь рассказывается о том, как Крейг отыскал решение задачи 2, а также о том, как он сумел ответить на вопрос, существуют ли какие-либо другие решения этой задачи. Тут я предоставлю слово ему самому:
«Моя задача заключалась в том, чтобы найти число N, которое порождает число N2N. Ясно, что это число должно иметь вид 2X, 32X, 332X, 3332X и т. д., причем мне нужно было отыскать X. Подошло бы в данном случае число вида 2X? Совершенно очевидно, что нет, поскольку число 2X порождает число X, которое, понятно, является более коротким (содержит меньше цифр), чем ассоциат числа 2X. Поэтому ни одно число вида 2X никак не могло оказаться подходящим.
Что можно сказать по поводу числа вида 32X? Оно также порождает ассоциат числа X, который, очевидно, содержит меньшее число цифр, нежели ассоциат числа 32X.
Теперь попробуем число вида 332X. Это число порождает двойной ассоциат числа X, который имеет вид Х2X2X2X, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 332X, то есть число, которое записывается в форме 332X2332X. Далее, может ли число Х2X2X2X оказаться тем же самым числом, что и 332X2332X? Прежде всего, нужно сравнить относительную длину этих чисел. Так, если h — количество цифр в числе X, то число Х2X2X2X должно иметь 4h + 3 цифр (поскольку в нем четыре X и три двойки); в то же время число 332X2332X имеет 2h +7 цифр. Может ли 4h + 3 равняться 2h + 7? Да, но только в том случае, когда h = 2. Итак, что касается длины, то число вида 332X вполне может оказаться для нас подходящим, но лишь при условии, если количество цифр в X равняется двум.
Существуют ли еще какие-нибудь возможности? Посмотрим, например, что можно сказать по поводу числа вида 332X. Такое число порождает тройной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2X2X2X2X2X2X2X, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 3332X, который записывается как 3332X23332