. Могут ли эти числа оказаться одинаковыми? Вновь обозначая через h длину числа
X, находим, что число Х2
X2
X2
X2
X2
X2
X2
X имеет 8
h + 7 цифр; в то же время число 3332
X23332
X имеет 2
h + 9 цифр. Равенство 8
h + 7 = 2
h + 9 может выполняться, только если h = 1/3, и, следовательно, в данном случае целочисленного значения не существует. Итак, числа вида 3332
X нам также не подходят.
Наконец, что можно сказать относительно числа вида 33332X? С одной стороны, это число порождает четверной ассоциат числа X, который имеет длину 16h + 15; с другой стороны, сам ассоциат числа X имеет длину 2h + 11. Ясно, что для любого целого положительного h выражение 16h + 15 больше, чем 2h + 11, и, значит, число вида 33332X порождает нечто слишком для нас большое.
Если мы теперь возьмем число, начинающееся не с 4, а с 5 троек, то несоответствие между длиной числа, которое оно вроде бы должно было порождать, и длиной числа, которое оно порождает на самом деле, окажется еще больше, а если мы возьмем число, начинающееся с 6 или более троек, то это несоответствие станет совсем большим. Таким образом, нам остается снова вернуться к числу 332X как к единственно возможному решению задачи, причем X в этом случае должен быть числом, состоящим из 2 цифр. Итак, искомое число N должно иметь вид 332ab, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению.
Ясно, что число 332ab порождает двойной ассоциат числа ab, или число аb2аb2аb2аb. При этом необходимо, чтобы число 332ab порождало ассоциат числа 332аb, который записывается как 332ab2332ab. Могут ли эти два числа оказаться одинаковыми? Для ответа на этот вопрос попробуем сравнить их на соответствие цифр:
аb2аb2аb2аb
332аb2332аb.
Сравнивая первые цифры каждого числа, мы видим, что а обязательно должно быть тройкой. Сравнение вторых цифр дает нам, что b также должно оказаться двойкой. Итак, число N = 33233 является решением нашей задачи и притом единственным».
4. — По правде говоря, — признался Крейг, — первую задачу я решал почти интуитивно; чтобы найти число 323, я не пользовался никаким специальным методом. К тому же я пока не успел обдумать вопрос, существует ли какое-либо иное число, которое порождало бы само себя.
— Однако, как мне кажется, ответы на эти вопросы не потребуют слишком много усилий. В самом деле, попробуем, к примеру, выяснить, не могло бы нам подойти какое-нибудь число вида 332X. Такое число должно было бы порождать двойной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2X2X2X и имеет длину 4h + 3, где h — длина числа X. С другой стороны, нам необходимо взять такое число, чтобы оно порождало число 332