, которое в свою очередь имеет длину
h + 3? Вполне очевидно, что при любых положительных
h величина 4
h + 3 всегда больше, чем
h + З, и потому число 332
X будет порождать число, в котором окажется слишком много цифр. То же самое можно сказать, по поводу числа вида 3332
X, а также чисел, начинающихся с четырех и более троек, для них соответствующие расхождения по длине окажутся еще большими. Значит, единственной возможностью для нас остается число вида 32
X (очевидно, что число вида 2
X нам также не годится, поскольку оно не может порождать само себя — ведь оно порождает число
X). Далее, число 32
X порождает число
X2
X, и, кроме того, требуется, чтобы оно порождало само себя, то есть опять 32
X. Поэтому числа 32
X и Х2
X должны совпадать. Обозначим через
h длину числа
X, тогда число 32
X имеет длину
h + 2, а число
X2
X — длину 2
h + 1. При этом должно выполняться условие 2
h + 1 =
h + 2, откуда сразу следует, что
h равно 1. Стало быть, число
X состоит из одной-единственной цифры. Наконец, для какой цифры
а имеет место условие
a2
a = 32
a? Ясно, что
а в этом случае должно быть тройкой. Итак, число 323 является единственным решением данной задачи.
5. Возьмем в качестве N число 3273. Это число порождает ассоциат числа 73, то есть число 73273, которое в свою очередь можно представить как 7N. Итак, число 73273 есть решение нашей задачи. (Кроме того, это решение — единственное, что легко можно показать с помощью сравнительного анализа соответствующих длин, подробно обсуждавшегося в последних двух задачах.)
6. Поскольку число 323 порождает само себя, то число 3323 должно порождать ассоциат числа 323. Итак, если положить N = 323, тогда число 3N действительно порождает ассоциат числи N. (Это решение является единственным.)
7. Решением будет число 332333. Проверка: положим N равным этому числу. Тогда оно порождает двойной ассоциат числа 333, который в свою очередь является ассоциатом числа 3332333 — или, иными словами, ассоциатом числа 3N.
8. Очевидно, что эта задача представляет собой прямое обобщение задачи 5. Там мы видели, что при N = 3273 число N порождает число 7N. Цифра 7 не играет в данном случае никакой особой роли. Действительно, для любого числа А справедливо условие: если мы положим Y = 32A3, то число Y будет порождать число AY (поскольку оно порождает ассоциат числа A3, который записывается как A32A3 и который в свою очередь представляет собой число АY). Итак, например, если мы хотим найти число Y, которое порождало бы число 837Y, то мы должны выбрать Y равным 328373.
Указанный факт, как выяснится ниже, имеет важное теоретическое значение!