Принцесса или тигр? (Смаллиан) - страница 85

в качестве X, то число X будет порождать М(X). Итак, наша задача сводится к нахождению такого числа Y, которое порождает MY. Но эта задача уже была решена в предыдущей главе (с помощью закона Мак-Каллоха): надо просто взять в качестве Y число 32МЗ. Итак, за X мы принимаем число М32МЗ, причем это X будет порождать М(X). Проверим полученный результат: в самом деле, пусть X = М32МЗ. Но поскольку число 2МЗ порождает число МЗ, то число 32МЗ порождает число М32МЗ (согласно правилу 2), и, следовательно, число М32МЗ будет порождать М(М32МЗ). Таким образом, действительно X порождает М(X), где X — число М32МЗ.

Рассмотрим теперь некоторые приложения. Для того чтобы найти некое число X, порождающее повторение X, примем 5 в качестве М; тогда сразу получаем решение (а точнее, одно из решений) — число 53253. Для того чтобы найти число X, порождающее обращение самого себя, положим M = 4; тогда X есть число 43243. Для того чтобы найти число X, которое порождало бы ассоциат обращения X, выберем в качестве M число 34; отсюда возможное решение — число 3432343.

Для решения первой задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает повторение обращения ассоциата X) выберем в качестве M число 543 (5 — для получения повторения, 4 — для получения обращения и 3 — для получения ассоциата); решением в данном случае является число 543325433. (Читатель может легко удостовериться непосредственно, что число 543325433 действительно порождает повторение обращения ассоциата числа 543325433.)

Для решения второй задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает ассоциат повторения обращения X) возьмем в качестве M число 354; в результате получим решение — число 354323543.

Да, действительно, принцип Крейга великолепно работает в этих ситуациях!

21, 22, 23, 24. Задачи 21, 22 и 23 являются частными случаями задачи 24, поэтому мы начнем прямо с последней из них.

Пусть нам дано операционное число M и произвольное число А, причем мы хотим найти некое число X, которое порождает М(АХ). Вся штука теперь состоит в том, чтобы найти такое число Y, которое не порождает MY, однако порождает AMY. Возьмем в качестве Y число 32АМЗ. Поскольку Y порождает AMY, тогда MY в соответствии с утверждением 1 должно порождать M(AMY). Значит, если принять за X величину MY, то X будет порождать М(АХ). Но поскольку мы выбрали в качестве Y число 32АМЗ, то число X в (данном случае будет равно М32АМЗ. Итак, искомое решение — число вида М32АМЗ.

Попробуем применить этот результат к решению задачи 21. Прежде всего отметим, что число 7