3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив Y = 27X, мы получим, что число X порождает Y, а число Y порождает 7X. Такое число X он тоже нашел — это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: X = 32273, Y = 2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если X = 322АЗ, а Y = 2A322АЗ, то число X будет порождать Y, а число Y будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число Y, которое порождает 72Y. Теперь, если обозначить через X число 2Y, то мы получаем, что число X порождает Y, а число Y порождает 7X. При этом нам уже известно, как найти такое число Y — надо взять Y = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: X = 232723, Y = 32723.
5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда, если мы положим Y = 2ВХ, то будем иметь, что число X порождает АY, а число Y порождает BX. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выглядит так: X = 32A2ВЗ, Y = 2B32A2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет X = 327283, Y = 28327283.)
6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа M и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа M и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число M(N2X). Ясно также, что число N2X порождает N(X). Поэтому если обозначить число N2X через Y, то мы получим, что число X порождает М(Y), а число Y порождает N(X). Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M32N2M3, Y = N2M32N2M3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим M = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: X = 4323243, Y = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение Y, а Y порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)
Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число