120. Я должен быть рыцарем. Если бы я был лжецом, то утверждения (1) и (2) были бы ложными. Предположим, что утверждение (2) ложно. Тогда я любил бы Линду, но я не любил бы Кати. Значит, Линду я любил бы, а это означает, что утверждение (1) было бы истинным. Поэтому невозможно, чтобы оба утверждения (1) и (2) были ложными. Следовательно, я не могу быть лжецом.
121. Сказать: «Р ложно, если не Q» – то же самое, что сказать: «Если Р, то Q». (Например, высказывание «Я не пойду в кино, если вы не пойдете со мной» эквивалентно высказыванию «Если я пойду в кино, то вы пойдете со мной».) Следовательно, «исправленный» вариант пословицы «Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать» эквивалентно утверждению «Если котел под приглядом закипит, то за ним приглядывают», а оно заведомо истинно, так как за котлом под приглядом, кипит он или не кипит, несомненно кто-то приглядывает.
122. Определить, кто такой А – рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове.
Для решения этой и других задач серии «Есть ли сокровища на этом острове?» установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец) высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если Р», то Р должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий – рыцарь или лжец).
Пусть К – утверждение о том, что говорящий – рыцарь. По словам говорящего, К эквивалентно Р. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда К действительно эквивалентно Р, и К – истинно. Следовательно, Р эквивалентно истинному утверждению. Значит, Р должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий – лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому Р не эквивалентно К. Кроме того, так как он лжец, то утверждение К ложно. Поскольку Р не эквивалентно ложному утверждению К, то Р должно быть истинно (если бы Р было эквивалентно К, то Р было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий – рыцарь или лжец, Р должно быть истинно.
Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109–112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Если я рыцарь, то Р», то мы можем заключить, что он рыцарь и что Р истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если Р», то мы можем заключить, что Р истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.
123. Да, могли бы: никаких сокровищ на острове нет.
Пусть G – утверждение о том, что на острове зарыты сокровища, а К – утверждение о том, что А – рыцарь. Отвечая на ваш вопрос отрицательно, А тем самым заявляет, что G не эквивалентно К. Предположим, что А – рыцарь. Тогда G действительно не эквивалентно К. Так как А – рыцарь, то К истинно. Следовательно, G, поскольку оно не эквивалентно истинному утверждению К, должно быть ложным. С другой стороны, предположим, что А – лжец. Тогда G в действительности эквивалентно К (поскольку лжец сказал, что G и К не эквивалентны). Но К – ложное утверждение (поскольку его высказал лжец). Следовательно, G должно быть ложным, как утверждение, эквивалентное ложному утверждению К. Таким образом, независимо от того, кто такой А – рыцарь или лжец, его отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что утверждение G ложно. Следовательно, никаких сокровищ на острове нет.