Первый отдел трактата посвящен «разомкнутым», открытым, фигурам (пространственным, не образующим замкнутых многогранников); второй — «сомкнутым». Представив здесь цепочку теорем, Федоров вывел все возможные теоретически изогоны и изоэдры (тоже его термины; изоэдр — многогранник, все грани которого равны или симметричны между собой; изогон — многогранник, у которого все телесные углы равны или симметричны). Собственно, в первых двух разделах были описаны Федоровым все Эвклидовы свойства пространственных фигур: даже если бы он на том и остановился, имя б его не потонуло во всемирном математическом архиве: брешь, зиявшая два тысячелетия, была покрыта!
(Почти наверняка, что первые эти разделы составлены в юнкерскую пору; позднее, в 1893 году, учение о многогранниках было подвергнуто более детальному исследованию в статье «Основание морфологии и систематики многогранников». В ней он развил «естественную», как сам выразился, классификацию по граням. Тогда уж он был кристаллографом и мог обозревать проблему с характерным прищуром знатока. Ан и Эвклидовы разделы «Начал», не знатоком сочиненные, целили без ведома охотника в кристаллографию. Профессор Шафрановский так обобщает: «…Учение о многогранниках, развитое Федоровым, помимо своего чисто геометрического значения, представляло в свое время огромный интерес для кристаллографов. Так называемые простые формы кристаллов, состоящие из равных или симметричных граней и образующие замкнутые многогранники, целиком принадлежат к федоровским изоэдрам… Дав полный вывод таких многогранников и подчинив их строго математической классификации, Федоров тем самым подвел непогрешимый геометрический базис под учение о формах природных многогранников — кристаллов».)
Но не мог же Федоров, опознав элементарно-геометрические свойства фигур, не поразмыслить над имманентно-сокровенным и в то же время бьющим в глаза качеством, именуемым — симметрия. Ему отведен третий раздел книги. Как и все другие, позже он был особо разработан в специальных монографиях, что, в конце концов, привело к знаменитому выводу 230 групп симметрии. Мы расскажем о них в своем месте; теперь коснемся четвертого раздела. Тема его потрясающе сложна, темна и умозрительна; речь идет о выполнении пространства. Внутренне однородное твердое тело (а кристалл таков) забирает самим собою, своим объемом часть пространства, заполняя его без промежутков; однако, каким бы однородно-плотным ни представлялось тело, мы не можем отделаться от имманентно-рассыпчатого его строения, иначе пришлось бы отказаться от химии и физики; бесконечно-исчезающе-малые его корпускулы, сами по себе также имманентно-рассыпчатые, водят, таким образом, хороводы фигур, оставаясь, между прочим, настолько притерты друг к другу, что исчезающе-малой щелочки между ними даже теоретически вывести нельзя. Каким же образом умудряется природа достать плотнейшую упаковку; другими словами, загадка такова: какие такие фигуры могут