Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 43

В 1973 году старинная формула Эйлера вкупе с формулой Мэчина позволила Гийу и Буйе вычислить миллион знаков π:

Любопытно, что для вычисления второго слагаемого достаточно вычислить первое и перенести запятую на несколько позиций. Вне зависимости от их абсолютной величины два первых слагаемых будут отличаться только количеством нулей.

В 1976 году Юджин Саламин и Ричард Брент предложили алгоритм, основанный на давней гипотезе Гаусса и Лежандра о последовательном вычислении средних арифметических и средних геометрических. Суть алгоритма непросто описать вкратце. Алгебраический алгоритм — это метод расчета некой величины, в данном случае Я. Саламин и Брент использовали следующие исходные равенства:

a_>0 = 1; b_>0 = 1/√2; t_>0 = 1/4; p_>0 = 1,

затем рекуррентным способом вычислили

a_>n+1 = (a_>n + b_>n)/2;

b_>n+1 = √(a_>nb_>n);

t_>n+1 = t_>n — p_>n(a_>n - a_>n + 1)^>2;

p_>n+1 = 2p_>n.

В пределе справедливо следующее соотношение:

π ~ (a_>n + b_>n)^>2/4t_>n.

Этот алгоритм, который было бы невозможно использовать без помощи компьютера, обладает квадратичной скоростью сходимости, то есть на каждом шаге число знаков, полученное на предыдущем, удваивается. С использованием этого алгоритма было получено 206158430000 знаков π.

Но и это еще не все: в 1980-е годы Петер и Джонатан Борвейны создали алгоритм со скоростью сходимости четвертой степени, с помощью которого было рассчитано 1241100 000 000 знаков. Мы не станем приводить его здесь, так как он будет понятен лишь узким специалистам.