Окончил Курсы усовершенствования командного состава НКВМФ, назначен командиром береговой батареи № 13. С сентября 1940 г. — командир 35-й башенной батареи. Командовал батареей в течение всей обороны Севастополя вплоть до 3 июля 1942 г. После подрыва батареи вследствие полученного ранения эвакуирован в Новороссийск. После излечения воевал командиром 117-го артиллерийского дивизиона Новороссийской военно-морской базы. Во главе него с 30 апреля 1944 г. принимал участие в освобождении Севастополя. В дальнейшем служил в составе частей береговой обороны Тихоокеанского флота.
После Великой Отечественной войны служил на Балтийском флоте. В 1955 г. уволен в запас по состоянию здоровья. Последнее воинское звание — подполковник.
Награжден орденами Ленина, Красного Знамени (дважды), Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалью «За оборону Севастополя», другими медалями.
Умер 9 августа 1970 г. Похоронен в городе Киеве на Лукьяновском военном кладбище.
«Нас не предали, но и не спасли…» Чтобы разделить мнение тысяч защитников Севастополя, оставленных командованием на Херсонесе перед лицом озверевшего врага, надо было быть одним из них, сполна испить чашу испытаний июльских дней 1942-го. А он и был одним из них — командир легендарной 35-й башенной батареи Алексей Лещенко. И не его «вина», что он остался жив в той мясорубке. Рок, судьба? Нет — верные морскому братству подчиненные Лещенко в буквальном смысле забросили своего командира, находившегося без сознания из-за тяжелой контузии, на борт одного из последних морских охотников…
После излечения Алексей Яковлевич много воевал, долго служил на флоте (хотя и не на Черном море), но до конца дней не было для него уголка земли ближе, чем Херсонес. Его подвижничеству в борьбе за правду о последних днях обороны Севастополя потомки обязаны рукописи воспоминаний «История башенной батареи № 35 береговой обороны Черноморского флота (декабрь 1927 — июль 1942 года)». Это — подлинно исторический документ, содержащий рассказ о таких фактах, упоминания о которых нет в других письменных источниках. Недаром на него ссылались в своих воспоминаниях вице-адмирал И. И. Азаров и генерал-майор П. А. Моргунов.
Понятно, что и нам пройти мимо этого свидетельства нашего героя было бы самым настоящим преступлением.
Батарея № 35 была предназначена в первую очередь для отражения нападений с моря. Но еще военные инженеры Русского императорского флота пришли к выводу: необходимо сооружать морские береговые батареи таким образом, чтобы сектора их обстрела позволяли вести стрельбу одинаково как по акватории, так и по побережью.