До 1790 (а возможно, и до 1791) года Хандошкин занимается делами университета и консерватории. В Италии закупают музыкальные инструменты, Потемкин подписывает контракты с итальянскими преподавателями, в том числе и со скрипачом Лукиано Джоглио.
Неожиданно «директором музыки» при университете назначается Д. Сарти, и тем самым Хандошкин оказывается отстраненным от всех дел, связанных с организацией консерватории. Однако он, видимо, все же успел сделать немало. И, пожалуй, спорным является утверждение И. М. Ямпольского, что Хандошкин «в Екатеринослав не выезжал и к делам "Музыкальной академии" никакого отношения не имел» (46, 82). Еще во время путешествия Екатерины в сопровождении Потемкина в Крым в 1787 году в Кременчуге их встречали университетские оркестр и хор, состоящие из ста восьмидесяти шести певцов и музыкантов.
Имеющиеся данные позволяют утверждать, что Хандошкину все же удалось организовать в первой русской «консерватории» музыкальные классы, обучить музыкантов и создать хороший оркестр, состоящий из двадцати семи инструменталистов, а также хор и роговой оркестр.
Лишь интриги Сарти, смерть Потемкина, а потом и Екатерины привели к свертыванию, а вскоре и к ликвидации всех дел. Огромная работа Хандошкина оказалась напрасной. С 1790 года он вновь в Петербурге, часто выступает при дворе, в домах знати. Его зовут «наш Орфей», поэты посвящают ему стихи. Описание наружности Хандошкина сохранилось в записках Одоевского: «Росту среднего, плотнаго, красивой наружности, глаза большие — парик носил». После смерти Хандошкина его вдове Елизавете, «оставшейся с сыном в бедности», была оставлена половина пенсии мужа.
Выдающийся скрипач своего времени, Хандошкин не только подытожил лучшие достижения русского инструментального искусства, но и проложил новые пути в скрипичном искусстве, уловил тенденции времени в трактовке скрипки как концертного инструмента, во многом предвосхитил достижения Паганини. Недаром про него писали, что он «играл во многом Паганиниевским образом сходственно, играл на одной струне, а также на расстрой для удобнейшего произведения эффектов» (46, 85), то есть применял скордатуру.
Своим виртуозным мастерством он затмевал лучших европейских артистов, служивших в России или приезжавших с концертами. Ему были подвластны и высокие позиции (в том числе и струн Соль и Ре), и двойные ноты, и аккордовая техника, и головокружительные пассажи, а также разнообразнейшая штриховая техника: переброски смычка через струны, staccato и spiccato, мощные ударные штрихи и т. д.