Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 36

ТЕОРЕМА СТОКСА

(3.38)

где S— произвольная поверхность, ограниченная контуром Г. Теперь мы должны ввести соглашение о знаках. На приведен­ной ранее фиг. 3.10 ось z показывает на вас, если система коорди­нат «обычная», т. е. «правая». Когда в криволинейном интеграле мы брали «положительное» направление обхода, то циркуляция получилась равной z-компоненте вектора СXC. Обойди мы кон­тур в другую сторону, мы бы получили противоположный знак. Как вообще узнавать, какое направление надо выбирать для положительного направления «нормальной» компоненты век­тора СXC? «Положительную» нормаль надо всегда связывать с направлением так, как это сделано было на фиг. 3.10. Об­щий случай показан на фиг. 3.11.

Для запоминания годится «правило правой руки». Если вы расположите пальцы вашей правой руки вдоль контура Г, чтобы кончики пальцев показывали положительное направление обхода ds, то ваш большой палец укажет направление положи­тельной нормали к поверхности S.

§ 7. Поля без роторов и поля без дивергенций

Теперь перейдем к некоторым следствиям из наших новых теорем. Возьмем сперва случай вектора, у которого ротор (или вихрь) повсюду равен нулю. Тогда, согласно теореме Стокса, циркуляция по любому контуру — нуль. Если мы теперь возь­мем две точки (1) и (2) на замкнутой кривой (фиг. 3.12), то кри­волинейный интеграл от касательной составляющей от (1) до (2) не должен зависеть от того, какой из двух возможных путей мы выбрали. Можно заключить, что интеграл от (1) до (2) может зависеть только от расположения этих точек, т. е. что он есть функция только от координат точек. Той же логикой мы пользо­вались в вып. 1, гл. 14, когда доказывали, что если интеграл от некоторой величины по произвольному замкнутому контуру всегда равен нулю, то этот интеграл может быть представлен в виде разности функций от координат двух концов. Это позво­лило нам изобрести понятие потенциала. Мы доказали далее, что векторное поле является градиентом этой потенциальной функ­ции [см. вып. 1, уравнение (14.13)].

Отсюда следует, что любое векторное поле, у которого ротор равен нулю, может быть представлено в виде градиента неко­торой скалярной функции, т. е. если АXС=0 всюду, то существует некоторая функция y (пси), для которой С = Сy (полезное представление). Значит, мы можем, если захотим, опи­сывать этот род векторных полей при помощи скалярных полей.

Теперь докажем еще одну формулу. Пусть у нас есть про­извольное скалярное поле j (фи). Если взять его градиент Сj, то интеграл от этого вектора по любому замкнутому контуру должен быть равен нулю.