Припомним сущность и методику теорий обыкновенных конечных чисел. Её, разумеется, можно построить отдельно, конструируя числа с помощью содержательных, наглядных соображений. Однако математическая наука отнюдь не исчерпывается числовыми равенствами и не сводится к одним только этим равенствам. Можно утверждать, тем не менее, что она является аппаратом, который при применении его к целым числам всегда должен давать верные числовые равенства. В таком случае ставится требование настолько исследовать строение этого аппарата, чтобы в этом убедиться. Вспомогательным средством при этом служит нам только тот же конкретно содержательный способ рассмотрения и конечная установка мышления, как они применялись для получения числовых равенств при построении теории чисел. Это познавательное требование в действительности выполнимо, т.е. можно получить чисто наглядным, конечным способом — совершенно так же, как получаются истины теории чисел — те рассмотрения, которые ручаются за достоверность математического аппарата.
Рассмотрим теперь ближе теорию чисел. В теории чисел мы имеем знаки:
1, 11, 111, 11111, ...
где каждый числовой знак можно распознать благодаря тому, что в нём за 1 всегда следует опять 1. Эти числовые символы — они и являются объектом наших рассуждений — сами по себе не имеют никакого значения. Кроме этих знаков в элементарной теории чисел мы пользуемся ещё и другими знаками, которые нечто означают и служат для сообщений. Так, мы пользуемся числовым знаком 2 для сокращённой записи числового знака 11, или числовым знаком 3 для сокращённой записи числового знака 111; далее, мы применяем знаки + =, > и другие, которые служат нам для сообщения утверждений. Так, 2 + 3 = 3 + 2 должно служить для сообщения того факта, что 2 + 3 и 3 + 2, если принимать во внимание сокращённую запись, которой мы пользовались, являются одним и тем же числовым знаком, а именно числовым знаком 11111. Точно так же 3 > 2 служит для сообщения того факта, что знак 3, т. е. 111, выступает за знаком 2, т. е. 11, или что этот последний знак является частью первого.
При сообщениях мы будем пользоваться в качестве числовых знаков также и буквами а, b, c. Согласно этому, b > а является сообщением того, что числовой знак b выступает за числовым знаком a. Точно так же, если исходить из этой точки зрения, a + b = b + a есть сообщение, что числовой знак a + b означает то же, что и числовой знак b + a. При этом содержательная правильность этого сообщения может быть доказана с помощью содержательного вывода, и мы можем с этим наглядным содержательным способом обсуждения пойти очень далеко вперёд.