Я хотел бы показать вам только один пример, в котором переходят за этот наглядный способ обсуждения. Самым большим (39 цифр) из известных до сих пор простых чисел является
р = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727.
С помощью известного евклидовского способа мы можем доказать, рассуждая полностью в рамках нашей установки, что между p + 1 и p! + 1 безусловно существует новое простое число. Это высказывание само по себе также соответствует нашей конечной установке, так как слово «существует» служит в данном случае только для того, чтобы короче сформулировать следующее высказывание:
Безусловно: p + 1 или p + 2 или p + 3 ... или p! + 1 есть простое число. Но, далее, очевидно, то же я могу выразить словами: существует простое число
1. > p и в то же время
2. <= p! + 1
Отсюда мы приходим к формулировке теоремы, которая выражает только часть евклидовского утверждения; существует простое число >p. Хотя по своему содержанию это последнее утверждение гораздо уже евклидовского и хотя переход кажется совершенно безобидным, всё же это есть прыжок в трансфинитное [в смысле «законечное» — прим. ред.], если только это частичное высказывание рассматривать, как самостоятельное утверждение, вне вышеприведённой связи.
Как это может быть? Мы имеем здесь высказывание о существовании: «существует»! Правда, мы встречаем уже это слово в теореме Евклида. Однако там, как я уже говорил, слово «существует» представляло собою другой сокращённый способ выражения того, что либо p + 1, либо p + 2, либо p + 3 ..., либо p! + 1 есть простое число, подобно тому, как длинную фразу: «либо этот кусок мела красен, либо тот кусок мела красен, либо ..., либо кусок мела, лежащий вон там, красен» заменяют короткой: «среди этих кусков мела имеется красный кусок». Такого рода утверждение, говорящее о том, что среди некоторой конечной совокупности предмет, обладающий определённым свойством, «существует», полностью соответствует нашей конечной установке. Напротив того, альтернатива «либо: р + 1, либо p+ 2, либо р + 3, ... и так до бесконечности — есть простое число» является, так сказать, бесконечной «или-связью», и подобный переход к бесконечному без особого объяснения и без необходимых при случае правил предосторожности так же мало дозволен, как мало дозволен в анализе переход от конечных произведений к бесконечным; и, прежде всего, он, вообще говоря, не имеет смысла.
Вообще, если исходить из конечной точки зрения, то высказывание вида «существует число, имеющее такое-то и такое-то свойство» имеет смысл только как