О Бесконечном (Гильберт) - страница 12

высказывание, т. е. как часть более определённого высказывания, более точное содержание которого, однако, для многих приложений несущественно.

Таким образом, мы натолкнулись здесь на трансфинитное при разложении высказывания о существовании на части, ни одна из которых не может быть истолкована как «или-связь». Равным образом, мы приходим к трансфинитному, когда мы отрицаем общее, т. е. распространяющееся на любые числовые знаки, утверждение. Так, например, для высказывания: если а — числовой знак, то всегда должно быть

a + 1 = 1 + a,

— с конечной точки зрения не может быть составлено его отрицание. Мы можем себе это уяснить, если вспомним, что если исходить из этой точки зрения, то это высказывание означает не соединение бесконечного множества числовых равенств союзом «и», а суждение гипотетического характера, которое нечто утверждает только для того случая, когда перед нами имеется некоторый числовой знак.

Отсюда, в частности, следует, что в смысле конечной установки нельзя применить альтернативу, согласно которой равенство, подобное вышеприведённому, включающее в себя неопределённый числовой знак, либо выполняется для любого числового знака, либо опровергается противоречащим примером. Действительно, эта альтернатива, являющаяся применением закона Tertium non datur (закона исключённого третьего), существенно опирается на предположение, что утверждение общей действенности этого равенства может быть отрицаемо.

Во всяком случае констатируем: если мы остаёмся в области конечных высказываний, как нам это и приходится делать сначала, то в таком случае имеют место не поддающиеся обозрению логические соотношения, и эта необозримость доходит до нестерпимости, когда слова «все» и «существуют» комбинируются и вставляются в теоремы. Во всяком случае, те логические законы, которыми люди, с тех пор как они мыслят, всегда пользовались и о которых учил уже Аристотель, несправедливы в конечном. Мы бы могли найти выход в том, чтобы установить логические законы, справедливые в области конечных высказываний; но это не принесло бы нам никакой пользы, так как мы ведь не хотим отказаться от пользования простыми законами аристотелевой логики, и никто, говори он даже ангельским языком, не удержит людей от того, чтобы отрицать любые утверждения, образовывать частичные суждения и применять закон исключённого третьего. Как же нам теперь быть?

Вспомним, что мы — математики и в качестве таковых уже не раз находились в аналогичном затруднительном положении и что тогда нас выводил из этого положения гениальный метод идеальных элементов. Некоторые яркие примеры применения этого метода я приводил уже вам в начале доклада. Так же, как было введено