Второй раз мы наталкиваемся в природе на вопрос о бесконечности при рассмотрении вселенной в целом. Мы должны теперь исследовать протяжённость вселенной, чтобы узнать, нет ли здесь бесконечно большой величины.
Мнение, что вселенная бесконечна, долгое время господствовало; до Канта и даже после него вопрос о бесконечности вселенной не вызывал никаких сомнений.
Но опять-таки современная наука, и в частности астрономия, подняла этот вопрос сызнова и попыталась решить его не с помощью недостаточных методов метафизического умозрения, а на основах, опирающихся на опыт и покоящихся на применении законов природы. При этом выявились веские возражения против бесконечности. Предполагать, что пространство бесконечно, вынуждает нас геометрия Евклида. Хотя геометрия Евклида и является системой понятий, непротиворечивой в самой себе, но отсюда, однако, ещё не следует, что она выполняется в действительности. Имеет ли это место — это может решить только наблюдение и опыт. При попытках умозрительно показать бесконечность пространства вкрадывались также и очевидные ошибки. Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность. Но понятия неограниченность и конечность не исключают друг друга. Математические исследования дают нам так называемую эллиптическую геометрию — естественную модель конечного Мира. Отказ от евклидовой геометрии является теперь не только чисто математическим или философским умозрением, но мы пришли к этому отказу также и с другой стороны, которая первоначально не имела ничего общего с вопросом о конечности вселенной. Эйнштейн показал необходимость отойти от геометрии Евклида. На основании своей гравитационной теории он берётся и за космологические вопросы и показывает возможность конечности вселенной, причём все найденные астрономами результаты вполне согласуются с предположением об эллиптическом мире.
Итак, мы установили конечность действительного в двух направлениях: в отношении бесконечно малого и бесконечно большого. Всё же может случиться, что бесконечное в нашем мышлении занимает полноправное место и является необходимым понятием. Мы посмотрим, как с этим обстоит в математической науке, и первым делом опросим чистейшее и наивнейшее дитя человеческого духа — теорию чисел. Из имеющейся здесь богатой совокупности элементарных формул возьмём какую-либо одну, например:
1>2+ 2>2 + 3>2 + ...+ n>2 = (1/6)п(n + 1)(2n + 1).
Так как мы можем подставить в неё вместо