какое-либо целое число, например, положить
п = 2 или
п = 5, то эта формула содержит
бесчисленное множество высказываний; в этом, очевидно, и заключается её суть, благодаря чему только она и представляет решение арифметической проблемы и требует собственно доказательства, между тем как частные числовые равенства
1>2+ 2>2 = (1/6)*2*3*5,
1>2+ 2>2+ 3>2+ 4>2+ 5>2 = (1/6)*5*6*11
могут быть проверены с помощью вычислений и потому в отдельности не представляют, по существу, никакого интереса.
С абсолютно другим, совершенно своеобразным толкованием и принципиальным пониманием идеи бесконечного мы знакомимся благодаря чрезвычайно важному и плодотворному методу идеальных элементов. Метод идеальных элементов находит себе применение уже в элементарной геометрии плоскости. Здесь реальными, действительно существующими предметами являются вначале только точки и прямые плоскости. Для них имеет место, между прочим, аксиома соединения: через две точки проходит всегда одна и только одна прямая. Отсюда получается, что две прямые пересекаются не более чем в одной точке. Но теорема, утверждающая, что две прямые всегда пересекаются в одной точке, несправедлива; две прямые могут быть параллельными. Однако известно, что с помощью идеальных элементов, а именно с помощью бесконечно удалённых точек и с помощью одной бесконечно удалённой прямой можно достичь того, что теорема, согласно которой две прямые всегда пересекаются в одной и только одной точке, окажется справедливой во всех случаях.
Идеальные «бесконечно удалённые» элементы приносят ту пользу, что они делают систему законов соединения возможно более простой и обозримой. Вследствие симметрии между точкой и прямой, отсюда, как известно, получается оказавшийся столь плодотворным принцип двойственности в геометрии.
Обычные комплексно-мнимые величины алгебры также являются примером использования идеальных элементов; они служат здесь для упрощения теорем о существовании корней уравнения и их числе.
Подобно тому как в геометрии бесконечное множество прямых, именно параллельные друг другу прямые, используется для определения идеальной прямой, так и в высшей арифметике определённые бесконечные системы чисел объединяются в один числовой идеал, и в этом состоит, пожалуй, самое гениальное применение принципа идеальных элементов. Если это происходит вообще, внутри некоторого алгебраического числового поля, то мы находим в этом поле простые и хорошо известные законы делимости, аналогичные тем, которые имеют место для обыкновенных целых чисел. Здесь мы уже попали в область высшей арифметики.