, ω
>2 + 1, ...
Таким образом, мы получаем следующую таблицу:
1, 2, 3 ...
ω, ω + 1, ω + 2 ...
ω*2, ω*2 + 1, ω*2 + 2 ...
ω*3, ω*3 + 1, ω*3 + 2 ...
ω>2, ω>2 + 1, ...
ω>2 + ω, ω>2 + ω*2, ω>2 + ω*3 ...
ω>2*2, ...
ω>2*2 + ω, ...
ω>3, ...
ω>4, ...
ω>ω, ...
Это — первые трансфинитные числа, числа второго класса, как их называет Кантор. К ним мы подходим просто посредством продолжения счёта за пределы обыкновенной счётной бесконечности, т.е. с помощью вполне естественного, однозначно определённого последовательного продолжения обычного счёта в конечном. Подобно тому как мы до сих пор считали лишь 1-ю, 2-ю, 3-ю, ... вещь множества, так теперь мы считаем ω-ю, (ω + 1)-ю, ω>ω-ю вещь. При таком положении вещей тотчас же сам собою напрашивается вопрос: нельзя ли при помощи этих трансфинитных чисел пересчитать множества, которые в обычном смысле несчётны?
Кантор в соответствии с этим ходом мыслей успешно построил теорию трансфинитных чисел и создал для них полное исчисление. Итак, в конце концов, благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своём дерзком полёте достигло головокружительной высоты успеха.
Но реакция не заставила себя ждать; она разыгралась очень драматически. Произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а затем всё более резкие и всё более серьёзные: так называемые парадоксы теории множеств. В особенности это относится к противоречию, найденному Цермело и Расселом, опубликование которого оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое действие. Перед лицом этих парадоксов Дедекинд и Фреге фактически отказались от своей точки зрения и очистили поле битвы.
Дедекинд долго сомневался перед тем, как выпустить новое издание своей работы «Что такое числа, и чем они должны быть» («Was sind und was sollen die Zahlen»), которая в своё время открыла новую эпоху; у Фреге так же была тенденция считать свою книгу «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arithmetik») ошибочной, в чём он признаётся в одном из своих послесловий. И на учение Кантора с различных сторон были произведены бурные нападки. Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие её умозаключения оказались под угрозой, и применение их должно было быть запрещено. Правда, не было недостатка и в защитниках старого; но мероприятия защиты были очень слабы, и они не были направлены единым фронтом в нужную сторону. Лекарств против парадоксов рекомендовали слишком много, методы объяснений были слишком разнообразны.