Это может быть так, а может и не быть. На самом деле большинство из нас устраивает небрежность таких понятий, как "длинный" и "короткий" в разговоре о расстоянии, "пологий" и "крутой", — когда речь идет о склоне. В отношении линий, кругов и сфер у нас есть интуитивное чувство, что появление в объекте отверстия иногда (но не всегда) способно изменить свойства объекта. Так, проколотый воздушный шар для нас вовсе не то же самое, что целый шар. Тем не менее пончик с джемом и без дырки представляет для нас фактически то же самое, что пончик с дыркой, с джемом или без. Это часть нашего общего опыта. Но в разобранном на составляющие мире математики использование неустойчивых понятий и неточных координат способно недопустимо исказить картину. В математике видимая схожесть объектов ничего не значит до тех пор, пока она не будет доказана. Ничто не известно, пока не имеет точного определения. Ничто — или почти ничто — не является само собой разумеющимся.
На заре математики Евклид говорил о вещах, которые казались сами собой разумеющимися. В своем главном труде, в "Началах", он привел пять постулатов, пять аксиом и 35 определений[3] — от определения точки ("то, что не имеет частей") до определения параллельных прямых (это прямые, "которые, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются"). Кроме того, Евклид объявляет (аксиома 1), что "равные одному и тому же равны и между собой".
Пять постулатов Евклида гласят:
1.От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2.Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3.Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4.Все прямые углы равны между собой.
5.Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то эти прямые, продолженные неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Строго говоря, даже в этих пяти утверждениях слишком многое принимается как данность. "Мне говорили, что Евклид все доказывал, и я был очень разочарован тем, что он начал с аксиом, — вспоминал Бертран Рассел о своем первом знакомстве с "Началами" в детстве. — Я отказывался принимать их на веру, пока брат не назовет мне вескую причину для этого. Он сказал, что если я этого не сделаю, мы не сможем двигаться дальше. Поскольку учиться я хотел, то скрепя сердце согласился".
Сначала первые четыре постулата Евклида принимались на веру им самим, его современниками и многими поколениями математиков. Они описывают пространство, которое мы можем не просто вообразить, но даже увидеть воочию. Их можно проверить эмпирически, нацарапав линию чем-нибудь острым, проведя окружность циркулем или натянув кусок веревки. Даже если длина сегмента окружности или ее радиус будут такими, что человеческий глаз не сможет их охватить, свойства их не изменятся. Это было очевидно и не нуждалось в доказательствах.