Немецкий математик Бернхард Риман в XIX веке разработал геометрию, которая реализуется на плоскостях с [постоянной положительной гауссовой] кривизной, где вместо прямых линий — геодезические и любые две из них пересекаются. Эту геометрию, которую называют эллиптической, или римановой, использовал Эйнштейн в общей теории относительности.
Картина мира по Евклиду была ограниченной и плоской. Наш мир искривлен. Современные люди легко покрывают расстояния достаточно большие для того, чтобы почувствовать на себе кривизну Земли. Конечно, никто из нас не ездит так далеко все время, однако мы можем легко вообразить (а воображение есть место, где вершится математика) кратчайшее расстояние между точками — траекторию авиаперелета, который осуществляется вдоль геодезической линии, даже если прежде этого термина не слышали.
Прямые не длятся бесконечно, а замыкаются, образуя окружности. И разумеется, любые линии пересекаются. То, что казалось абсурдом в XVIII веке, стало точным отражением нашего повседневного опыта. Другими словами, наш мир значительно вырос. Но тут возникли два вопроса: насколько вырос мир и что значит "больше"?
Здесь на авансцену выходит топология — раздел математики, родившийся в 1736 году в Санкт-Петербурге. Швейцарский математик Леонард Эйлер, работавший тогда в России, освободил геометрию от бремени измерения расстояний. Он напечатал статью, посвященную задаче о семи мостах Кенигсберга. Мэр этого города задал знаменитому математику вопрос: можно ли пройти по всем семи мостам, не проходя ни по одному из них дважды?
Эйлер пришел к выводу, что это невозможно. Он показал также, что в любом городе, где есть мосты, подобную прогулку можно совершить, если и только если нечетное число мостов ведут в два района города (или не ведут ни в один), но нельзя, если нечетное число мостов ведут более чем к двум районам. Третье следствие, к которому пришел Эйлер, решая задачу о мостах, для которой важны координаты места, а не расстояния, — открыло новый раздел математики (Эйлер назвал его "геометрией поверхностей").
В этой новой дисциплине размер объектов — расстояние в точном смысле слова — не имеет значения. Важно не количество сделанных шагов, а направление, в котором они были пройдены. Решение вопроса о том, что данный объект больше или меньше другого, теперь зависело от количества данных, нужных для его размещения в пространстве, точнее — от координат, описывающих его. Точка нольмерна, линия — одномерна, поверхность наподобие треугольника, квадрата или сферы — двумерна. Это верно: поверхность, которую мы представляем как плоскую, и поверхность, которую мы представляем как выпуклую, топологи, в целях удобства, считают сходными. Это оттого, что когда топологи рассуждают о поверхности сферы или, допустим, яблока, они имеют в виду только поверхность, а не то, что находится внутри сферы или яблока.