Задача решить вопрос о мощности борелевских множеств была мне поставлена Н. Н. Лузиным весною 1915 г., после того как я передоказал уже известный результат о мощности всех множеств типа F>σδ.
С Н. Н. Лузиным я познакомился осенью 1914 г., после того как он вернулся из длительной научной заграничной командировки. О моём чрезвычайно сильном впечатлении от первой встречи с Н. Н. Лузиным рассказано в моей лекции «О призвании учёного», изданной отдельной брошюрой и перепечатанной во втором томе моих сочинений >1.
Взявшись за решение поставленной мне Лузиным общей проблемы, я начал с частного случая борелевских множеств низших классов и стал доказывать, что всякое несчётное множество типа F>σδσδ. (я их называл множествами четвёртого класса) имеет мощность континуума. При решении задачи в этом частном случае уже полностью выявилась и общая идея. Фактически было доказано, что всякое множество упомянутого класса может быть получено применением A-операции к замкнутым множествам и затем было доказано, что всякое несчётное A-множество содержит совершенное множество. Однако когда я сообщил свою идею доказательства Н. Н. Лузину, он отнёсся к ней с недоверием и стал меня убеждать в том, что мой план доказательства ни к чему, кроме множеств F>σδ, привести не может. Любопытно, что когда много лет спустя, в 1923 г.Урысон и я стали излагать A-операцию (ставшую к тому времени, как нам казалось, общим достоянием теории множеств) известному математику Каратеодори, издавшему перед тем свою книгу по теории множеств и функций, то Каратеодори стал с полной уверенностыо доказывать нам, что всякое А-множество в действительности есть множество типа F>σδ. Значит, при всей простоте понятия A-операции было в нём что-то, создававшее какие-то психологические трудности при первом с ним ознакомлении. Конечно, вполне возможно и то, что моё первое изложение идеи доказательства было недостаточно чётким и оправдывало скептицизм Н. Н. Лузина. Но, так или иначе, скептицизм этот был полный и Н. Н. Лузин рекомендовал мне в отмену моего плана решать задачу в противоположном смысле и пытаться строить борелевское множество мощности >0א. К счастью, я не послушался на этот раз своего учителя. К концу лета мне удалось провести своё доказательство в полной общности и во всех деталях. Первый человек, которому я его подробно рассказал и который проверил его со всей самой придирчивой строгостью, был В. В. Степанов, как никто умевший критически разбирать доказательства в любой известной тогда области математики. Затем доказательство было рассказано И. И. Привалову