Неожиданные решения различного рода задач о буквах, словах и предложениях
Математики любят играть в слова. Например, в серьезной книге Ф. Хараря и Э. Палмера «Перечисление графов»[5] мы встречаем примечание: «Рид сообщил Райту, что и он, и Райт допустили ошибку. Затем Рид и Райт, чтобы исправить положение вещей, указали в совместной работе на допущенную ранее ошибку. Возможно, что все это выглядело несколько иначе, ибо Райт утверждает, что он первый написал Риду». Примеров можно было бы привести так много, что они могли бы составить целую книгу.
Нетрудно понять, почему математикам нравятся такие шутки. Слова представляют собой не что иное, как комбинации букв, составленных в определенном порядке, так же как предложения — линейные последовательности слов, составленные в соответствии с формальными правилами синтаксиса. Таким образом, многое роднит лингвистику с комбинаторной математикой. Словесные квадраты по своей структуре аналогичны магическим квадратам. Знаки препинания в предложении соответствуют математическим символам (скобкам, плюсам, минусам и т. д.), вводящим «пунктуацию» в алгебраические предложения.
Все эти (и многие другие) приятные аналогии между языком и математикой собраны в последней, шестой главе нашей книги. Палиндромы — слова или фразы, которые читаются одинаково от начала к концу и от конца к началу, — аналогичны палиндромным числам. Как мы увидим, в теории чисел существует известная «гипотеза о палиндромных числах», не доказанная и не опровергнутая. О палиндромных простых и составных числах, являющихся квадратами и кубами, доказано немало интересных теорем. Другие головоломки в этой главе связаны с разбиением слов на части, во многом напоминающим разбиение чисел на суммы.
Если буквы рассматривать как геометрические фигуры, то мы сразу же вступаем в область необычных геометрических задач и головоломок. Мы увидим, каким образом эти задачи связаны с существованием двух важных разновидностей операции симметрии: симметрии относительно поворота на 180° и зеркальной симметрии. Мы обнаружим, что некоторые слова и даже целые предложения выдерживают поворот на 180°, и некоторые цифры на индикаторе микрокалькуляторов переходят в буквы латинского алфавита.
Буквы не обязательно считать жесткими и нерастяжимыми. Если мы будем рассматривать их не как геометрические фигуры, сохраняющие форму при поворотах и отражениях, а как топологические фигуры, которые можно изгибать, сжимать, растягивать, как резиновые жгуты, то перед нами откроется еще одна обширная область занимательных задач, с решением которых вам также предстоит познакомиться. Именно в этих задачах вы увидите «за работой» простейшие топологические понятия.