Есть идея! (Гарднер) - страница 18
Проф. Квиббл. Надеюсь, вы не отступили перед трудностями? Вам нужно было лишь догадаться вставить один стакан в другой. После этого уже совсем нетрудно разложить монеты так, чтобы в каждом стакане оказалось нечетное число монет.
Счастливая идея, позволяющая сразу же решить головоломку проф. Квиббла, сводится к тому, что одни и те же монеты могут одновременно находиться более чем в одном стакане. На языке теории множеств решение задачи допускает следующее описание: имеется два множества монет, одно из которых содержит 7 элементов, а другое — 3 элемента, причем в последнем множестве выделено подмножество, содержащее 1 элемент. Наглядно полученное решение можно изобразить в виде следующей диаграммы:
Найти все остальные решения мы предоставляем читателю. Додуматься до 10 решений, одно из которых предложил проф. Квиббл, не составит особого труда, но найти еще 5 решений (всего существует 15 решений задачи) не так-то просто: необходимо «озарение».
После того как вам удастся найти все 15 решений, попробуйте обобщить задачу, варьируя число монет, стаканов и отличительные особенности числа монет, разложенных по стаканам.
Основная идея «счастливой находки», позволившей решить задачу проф. Квиббла (элементы какого-то множества принадлежат другому множеству и при подсчете учитываются дважды), встречается во многих известных головоломках и парадоксах. Приведем лишь одну из таких задач, носящую шуточный характер.
После того как один школьник пропустил целую неделю занятий, его навестил учитель. Школьник принялся объяснять, почему ему некогда ходить в школу.
— Я сплю 8 часов в сутки. Это составляет 8 × 365 = 2920 часов в году, или, так как в сутках 24 часа, 2920: 24 (около 122) суток.
По субботам и воскресеньям школа не работает, что составляет за год 104 дня.
60 дней в году приходятся на летние каникулы.
На завтрак, обед и ужин у меня уходит 3 часа в день, то есть 3 × 365 = 1095 часов, или 1095: 24 (около 45 суток) в год.
По крайней мере 2 часа в день мне необходимы для отдыха, что составляет 2 × 365 = 730 часов, или 730: 24 (около 30 суток) в год.
Школьник выписал названные им числа в столбец и просуммировал:
На сон — 122
Субботы и воскресенья — 104
Летние каникулы — 60
Завтраки, обеды и ужины — 45
Отдых — 30
Итого — 361 день
— Видите, — продолжал школьник, — у меня остается всего-навсего 4 дня в год на болезни, а о праздниках я и не говорю!
Учитель внимательно проверил все выкладки, но не смог обнаружить в них ошибки. Проверьте этот парадокс на своих приятелях. Многие из них сумеют найти ошибку? А ошибка кроется в том, что некоторые подмножества дней года сосчитаны более одного раза: множества, на которые школьник разбил 365 дней в году, перекрываются (пересекаются) так же, как множества монет в стаканах проф. Квиббла.