Есть идея! (Гарднер) - страница 22

Теория покрытия одних плоских фигур другими изобилует задачами, в которых доказать несуществование решения было бы трудно, если бы не проверка на четность. Задача, с которой столкнулся мистер Браун, чрезвычайно проста, поскольку в ней речь идет о покрытии площадки плитками в форме костей домино — простейших нетривиальных полимино. (Каждая «кость» полимино составлена из квадратов, примыкающих друг к другу по целой стороне). Предложенное Бетси доказательство неразрешимости задачи применимо к любой фигуре из единичных квадратов, у которой после раскрашивания квадратов в шахматном порядке клеток одного цвета оказывается по крайней мере на одну больше, чем клеток другого цвета.

В рассмотренной нами задаче площадку перед домом можно рассматривать как прямоугольник размером 6×7 единиц с двумя недостающими клетками одного цвета. Если из прямоугольника вырезать 2 клетки одного цвета, то ясно, что покрыть 20 костями домино 40 остальных клеток невозможно. С исходной задачей тесно связан следующий ее интересный вариант: всегда ли 20 костями домино можно покрыть прямоугольник размером 6×7 единиц, из которого вырезаны 2 клетки разного цвета? Проверка на четность не позволяет доказать неразрешимость новой задачи, но это отнюдь не означает, будто бренные останки прямоугольника всегда можно покрыть 20 костями домино. От перебора всех фигур, возникающих при удалении из прямоугольника размером 6×7 единиц двух клеток разного цвета, следует заранее отказаться, так как их слишком много, что затрудняет анализ задачи. Не существует ли простое доказательство разрешимости задачи, позволяющее разом охватить все прямоугольники размером 6×7 с двумя недостающими клетками разного цвета?

Такое доказательство, простое и изящное, действительно существует. Идею его предложил Ральф Гомори. Оно также использует проверку на четность. Предположим, что прямоугольник размером 6×7 целиком заполнен замкнутой дорожкой шириной в 1 клетку (рис. 4). Если удалить 2 клетки разного цвета, то, где бы они ни были расположены в прямоугольнике, замкнутая дорожка распадется на две части, каждая из которых состоит из четного числа клеток, цвета которых чередуются. Ясно, что каждый такой отрезок дорожки можно выложить костями домино. Следовательно, задача всегда допускает решение. Может быть вам захочется испытать свои силы и, применить остроумную идею Гомори к доказательству разрешимости аналогичных задач для прямоугольников других размеров и форм, из которых вырезано более двух клеток.

Теория «покрытия» — обширный раздел комбинаторной геометрии, интерес к которому все возрастает. Области, которые требуется покрыть, могут быть любой формы, конечными или бесконечными. Форма фигур, которыми требуется покрыть заданную фигуру, варьируется от задачи к задаче. Иногда требуется покрытие не конгруэнтными фигурами, а фигурами нескольких различных форм. Доказательство несуществования решения таких задач нередко удается получить, раскрасив клетки покрываемой фигуры специальным образом в несколько цветов.