Красота в квадрате (Беллос) - страница 98

будет стремиться к бесконечности? Оно тоже будет увеличиваться до бесконечности или приблизится к конечному пределу? Мне нравится визуализировать эту задачу в виде своего рода «перетягивания каната» по горизонтальной оси графика. Чем больше значение n, тем меньше значение (1 + ), что перетягивает все выражение в левую сторону. С другой стороны, показатель степени n тянет все выражение вправо, поскольку чем больше раз вы умножаете то, что находится в скобках, тем больше итог. В начале соревнования побеждает показатель степени, так как мы уже видели, что когда n равно 1, 2, 12 и 365, значение (1 + )^>n увеличивается от 2 до 2,25, затем до 2,613 и 2,7146. По всей вероятности, вы уже понимаете, к чему мы идем. Когда значение n стремится к бесконечности, в «перетягивании каната» наступает момент равновесия. Бернулли случайно нашел экспоненциальную константу, поскольку при n, приближающемся к бесконечности, значение (1 + )^>n стремится к числу e.

Сумма депозита в размере 1 фунт стерлингов через год при условии, что ставка 100 процентов годовых начисляется два раза в год, ежемесячно и непрерывно

Проанализируем этот процесс визуально. На представленном выше рисунке отображены три сценария того, что произойдет за год с депозитом в размере 1 фунт стерлингов при годовой ставке 100 процентов, начисляемой пропорционально за разные периоды. Пунктирная линия соответствует начислению процента два раза в год, тонкая линия — один раз в месяц. Чем больше шагов, тем выше поднимаются линии. Когда шаги становятся бесконечно малы, линия превращается в кривую y = e^>x — эталон экспоненциального роста.

Когда мы говорим, что кривая отображает непрерывное начисление процента, это значит, что сумма нашего депозита увеличивается в каждый момент времени на протяжении года и в конце года составит 2,718 фунта, или число e.

Бернулли открыл число e во время изучения сложного процента [5]. Безу­словно, он был бы рад узнать, что его открытие стало краеугольным камнем современной банковской системы (разумеется, с более реалистичными процентными ставками). Причина в том, что британские финансовые учреждения по закону обязаны указывать непрерывно начисляемую процентную ставку по всем продуктам, которые они продают, независимо от того, с какой периодичностью они предпочитают выплачивать проценты — один раз в месяц, два раза в год, один раз в год или как-то еще.

Предположим, банк предлагает депозит под 15 процентов годовых при условии их выплаты один раз в год. Это означает, что через год депозит в размере 100 фунтов стерлингов вырастет до 115 фунтов. Если эти 15 процентов начислять непрерывно, то согласно формуле, полученной на основании свойств числа