2. Другой способ убедиться в истинности нашего утверждения состоит в следующем. Напомним, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Поэтому если А не рыцарь, то высказывание «Если А – рыцарь, то Р» автоматически становится истинным и, следовательно, не могло бы принадлежать лжецу. Значит, если кто-нибудь, о ком известно, что он может быть либо рыцарем, либо лжецом, высказывает такое утверждение, то он может быть только рыцарем и высказывание Р должно быть истинным.
Применим этот принцип к нашим задачам. Начнем с задачи 109. Если в качестве Р принято высказывание «В – рыцарь», то ясно, что А должен быть рыцарем, а его высказывание истинным. Следовательно, В – рыцарь, и мы получаем ответ: А и В – оба рыцари.
В задаче 110 в качестве Р выберем высказывание «А придется съесть свою шляпу». Мы видим, что А должен быть рыцарем и что ему придется съесть свою шляпу. (Тем самым доказано, что хотя рыцари обладают несомненными достоинствами и добродетелями, они тем не менее могут быть глуповатыми.)
Ответ к задаче 111: A – рыцарь.
Правильное заключение, к которому можно прийти в задаче 112: автор опять мистифицирует читателей! Условия задачи противоречивы: высказывание «Если я рыцарь, то дважды два – пять» не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу.
113. А должен быть рыцарем, а В – лжецом.
Докажем прежде всего, что только рыцарь может высказать утверждение вида «Если Р, то я лжец». Напомним, что истинное высказывание следует из любого высказывания. Значит, если высказывание «Я лжец» истинно, то полное высказывание «Если Р, то я лжец», также истинно. Но если я лжец, то никакое истинное высказывание не могло бы принадлежать мне. Следовательно, высказывая утверждение «Если Р, то я лжец», я должен быть рыцарем.
Итак, А должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если В – рыцарь, то А – лжец (потому что А настаивает на истинности этого высказывания). Тогда В не может быть рыцарем, так как в противном случае А должен бы быть лжецом, а он им не является. Следовательно, В – лжец.[3]
114. А в действительности утверждает: «Неверно, что X виновен, a Y невиновен». Но это то же самое, как если бы А утверждал: «Либо X невиновен, либо Y виновен». Следовательно, А и В в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому А и В должны быть однотипными.
115. Предположим, что А – рыцарь. Тогда В также рыцарь (по утверждению А). Следовательно, высказывание В «Если А – рыцарь, то С – рыцарь» истинно. Но (по предположению) А – рыцарь. Следовательно, С – рыцарь (в предположении, что А – рыцарь).